solución al problema del otro día

El otro día propuse un problema matemático, que un comentarista anónimo resolvió brillantemente, aunque sin meterse en honduras. He conseguido dominar un editor de fórmulas online lo suficiente para escribir lo que tan fácil es en un papel. No obstante, ya me pueden decir las fórmulas lo que quieran, que yo preferiría verlo con cuerdas en el suelo de mi cocina. Quizá lo haga un día.
La fórmula para el perímetro a partir del radio es esa de 2 x pi x radio. Lo que tenemos que medir es el aumento del radio cuando le añadimos al perímetro un metro. Por intuición, supuse que cuanto mayor es la esfera que circundamos (y por lo tanto el radio del círculo generado) menos se separará el cinturón de la superficie.
Pero no. Matemáticamente:
;

Nos interesa calcular r'-r'', así que

y

así que

esto quiere decir que me da lo mismo el radio de la circunferencia de la que parta, que si a su perímetro le aumento un metrito el radio de la circunferencia que me resulte va a ser siempre de un metro dividido por el doble de pi, que es alrededor de 16,5 cm. Tanto da que sea un moco redondeado de mi hijo mayor o el planeta Júpiter; si le añado un metro al perímetro, el radio aumenta 16,5 cm.
Sigo sin creérmelo.